As duas formas – despercebido e desapercebido – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações apesar de em certas orações poderem funcionar como sinônimos (ver abaixo).

Despercebido significa que não se percebeu; não observado, não notado; que não se sentiu.

Esteve aqui mas passou despercebido para a maioria das pessoas.

Desapercebido significa que não está preparado; sem munições, provisões; desprevenido, desacautelado.

Foi apanhado desapercebido.

Podem funcionar como sinônimos?
O termo “desapercebido” pode também ter o sentido de não percebido, não observado o que conduz a um grau de semelhança com “despercebido” embora certos “puritas” considerarem como falsos sinônimos. No entanto, e neste contexto, o emprego destes vocábulos como sinônimos é generalizado.
No entanto, a palavra “desapercebido” é um vocábulo em desuso pelo que é preferível usar “desprevenido” evitando assim possíveis utilizações erradas do termo.

Foi apanhado desprevenido.


Referências

Despercebido advém da construção des + percebido.
Desapercebido é o particípio de desaperceber.