A forma correta de escrita é diretamente de acordo com a Língua Portuguesa e foi introduzido pelo Acordo Ortográfico.
Ou seja, é escrito sem “c” por este não ser pronunciado.
Diretamente significa de modo direto; tratar claramente com alguém. Em linha reta e sem desvios.
O mesmo acontece para as palavras: direto, diretos, direta, diretas, direção; nenhum “c” antes do “t” ou do “ç”.
Directamente não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa; directamente era a forma de escrita antes do AO.
Referências
a) Advém da construção direta + -mente.
b) A regra, neste casos, é verificar se a consoante “c” é pronunciada ou não. Não sendo implica não escrever.