As duas formas envolvesse e envolve-se existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo envolver mas empregues em diferentes pessoas gramaticais/tempos verbais; com distintas pronúncias.
Envolvesse é a primeira e terceira pessoa do singular do pretérito imperfeito do modo subjuntivo do verbo.
se eu [ envolvesse ], se ele; ela; você [ envolvesse ]
Não me surpreenderia se ela envolvesse a Polícia.
Nunca pensei que envolvesse dinheiro.
E se envolvesse testes em humanos?
Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida, desejo ou situações hipotéticas
A forma envolve-se, com hífen, é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “se”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica, no caso ele, ela ou você.
Nicholas envolve-se com uma jovem russa.
Às vezes, ele envolve-se em coisas que não entende.
Na década de 1980, a empresa envolve-se no projeto de criação de uma nova instituição bancária.