As duas formas – escrever e inscrever – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Se a sua dúvida é referente a fazer a inscrição de; registrar(-se) oficialmente então o termo correto é inscrever.
Escrever significa redigir; narrar; representar por meio de caracteres gráficos.
A técnica de escrever à mão está quase ausente da escrita nos dias de hoje.
É importante saber como escrever um email profissional.
Inscrever, e de forma resumida, significa registar; gravar; esculpir; apontar.
a) registrar(-se) oficialmente num programa, instituição, curso etc.
b) fazer a inscrição de
c) gravar ou esculpir palavras em
Para jogar, tem de inscrever-se!
Como posso inscrever o meu filho na escola?
Referências
Escrever advém do latim scribere.
Inscrever advém do latim inscribere.