As duas formas – esperto e experto – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Esperto significa que percebe e compreende as coisas com facilidade; fino; astuto; acordado.
Deveria ter sido mais esperto.
Olha, armado em esperto!
Experto diz-se de alguém que é experiente em determinado assunto; perito; sabedor; indivíduo experimentado.
É um advogado experto em direito comercial.
Curso de experto em mediação familiar e resolução de conflitos.
Referências
Esperto advém do latim expergitu.
Experto advém do latim expertus.