As duas formas – exercito e exército – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Exercito é uma forma verbal do verbo exercitar – o presente do indicativo na primeira pessoa do singular. Significa praticar; exercer; cultivar.
Eu me exercito com corridas matinais.
Quanto mais eu exercito mais natural fica para mim cantar.
Exército é o conjunto de todas as forças militares de um país, principalmente as terrestres.
Um exército com cerca de cem mil homens.
Serviu o exército.
Referências
Exército advém do latim exercitu.