As duas formas – exilado e asilado – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Exilado diz-se daquele que deixou seu país voluntária ou compulsoriamente (de forma obrigatória); pode ter o sentido de emigrante ou expatriado.
Caso seja exilado pedirei asilo no Paraguai.
Esteve 10 anos exilado por ser uma voz contra o regime.
Asilado significa que recebeu asilo político; recolhido em asilo.
Suspeito de terrorismo entrou na Europa como asilado político.
Julian Assange, fundador e rosto principal da Wikileaks, está asilado na embaixada do Equador no Reino Unido.
Referências
Exilado é o particípio do verbo exilar.
Asilado é o particípio do verbo asilar.