As duas formas – exilado e asilado – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.

Exilado diz-se daquele que deixou seu país voluntária ou compulsoriamente (de forma obrigatória); pode ter o sentido de emigrante ou expatriado.

Caso seja exilado pedirei asilo no Paraguai.
Esteve 10 anos exilado por ser uma voz contra o regime.

Asilado significa que recebeu asilo político; recolhido em asilo.

Suspeito de terrorismo entrou na Europa como asilado político.
Julian Assange, fundador e rosto principal da Wikileaks, está asilado na embaixada do Equador no Reino Unido.


Referências

Exilado é o particípio do verbo exilar.
Asilado é o particípio do verbo asilar.