A forma correta de escrita é faxina de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a consoante “x”.
Faxina, no sentido de trabalho, significa limpeza em geral (serviço de limpeza).
Hoje é dia de faxina.
O trabalho de faxina, além de árduo, é mal remunerado.
Como sinónimos de faxina podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: assear, higiene, limpar, limpeza, purificação.
Fachina não existe na Língua Portuguesa.
Referências
Advém do latim fascina.