As duas formas – feixe e feche – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Feixe significa conjunto de coisas; porção; molho; gavela.
Arrancava pequenas lenhas e ajuntava uma quantidade enorme em montes de feixe.
Em óptica é o conjunto de raios luminosos, paralelos ou quase, e que correspondem, porém, a uma frente de onda plana ou quase plana.
Se o feixe de luz do laser sair, pode causar cegueira.
Feche é uma forma verbal do verbo fechar, nomeadamente a primeira e terceira pessoa do singular do presente do modo subjuntivo, a terceira pessoa do singular do imperativo afirmativo e a terceira pessoa do singular do imperativo negativo do verbo.
que eu [ feche ], que ele; ela; você [ feche ], [ feche ] ele; ela; você, não [ feche ] ele; ela; você
O banco não permite que eu feche a conta sem liquidar o débito.
Esperamos até que ela feche a porta, depois continuamos a reunião.
Referências
São palavras parónimas: semelhantes tanto na escrita e na pronúncia mas com significado diferente.
Feixe advém do latim fascis.
Feche advém do verbo fechar.