As duas formas – hesitar e exitar – existem na Língua Portuguesa com a particularidade de “exitar” ser unicamente usado no Brasil.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Hesitar significa estar indeciso; duvidar; mostrar receio; vacilar.
Ela pareceu hesitar por um momento.
Então, sem mais hesitar, digito o código.
Como sinónimos de hesitar podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: duvidar, embasbacar, flutuar, hesitar, oscilar, pairar, tremular, trepidar, tropeçar, vacilar.
Exitar, e como referido, é usado no Brasil e significa ter bom êxito; sucesso; resultado positivo ou satisfatório; é um verbo pouco utilizado mas é apontado como correto (apesar de não constar em vários dicionários).
Para exitar é necessário trabalhar.
Ele exitou na sua prova.
Referências
Convém não confundir com o verbo “excitar” (escrito com a consoante “c”) – significa provocar excitação em ou estimular.