As duas formas ido e indo estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são formas verbais do verbo ir; notar ainda que “ido” também adquire a categoria de adjetivo e substantivo.
Ido é o particípio passado do verbo ir – utilizada na construção de frases compostas.
Deveríamos ter ido ao hospital com você.
Não devia ter-me ido embora assim.
Como adjetivo significa que já aconteceu ou passou.
As lições de dias idos ensinam-nos o que está para vir.
Como substantivo significa tempos passados.
A história do desta região remonta aos idos de 1924.
Indo é o gerúndio do verbo ir – transmite a ideia de continuidade; de duração, de uma ação que se prolonga no tempo.
Parece que está indo muito bem.
Sinto que estamos indo na mesma direção.