As duas formas – início e inicio – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.

Início, com acento agudo no segundo “i” é um substantivo e significa começo; princípio; iniciação.

Foi só o início.
Início do verão de 2020.

Como sinónimos de início podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: começo, iniciação, preâmbulo, princípio.

Inicio, sem acento gráfico, é a forma verbal na primeira pessoa do singular do presente indicativo do verbo iniciar.

Quando inicio um livro somos apenas eu, a máquina de escrever, o papel em branco.
Eu inicio e tu terminas.


Referências

Início advém do latim initium.