As duas formas insistiram e insistirão existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo insistir, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Insistiram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ insistiram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Em 1829, eles insistiram novamente com a proposta.
Eles insistiram nisso já há oito meses atrás.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Insistirão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ insistirão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Os jornais insistirão em saber os detalhes.
As autoridades anunciaram que insistirão na mesma linha de ação.