As duas formas – integraram e integrarão – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo integrar, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.

Integraram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ integraram ]

« relativo a uma situação passada ou concluída »

Integraram-se rapidamente na população da aldeia.
Os seus trabalhos integraram exposições em diversas cidades europeias.

Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado

Integrarão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ integrarão ]

« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »

Em etapas diferentes, todos eles integrarão a equipe.
Aqueles que vencerem o Mal integrarão a coluna dos mártires.