As duas formas – integro e íntegro – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.

Integro, não acentuado, é a primeira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo integrar.

eu [ integro ]

A lista que eu integro propõe-se mudar este estado de coisas!
Como é que eu integro esses procedimentos na minha firma?

Obs:
_ integro é pronunciado com “e” aberto .\é
_ verbo integrar = incluir num conjunto, incorporar; inserir-se, fazer-se parte integrante

Íntegro, com acento agudo na vogal “i”, é um adjetivo que significa inteiro, completo; que age com honestidade e dignidade; reto, justo, incorruptível.

É um homem íntegro e reto.
O seu carácter é integro e sem falsidades nem malícia.


Referências

Integro advém do verbo integrar.
Íntegro advém do latim integrus.