A forma correta de escrita é mansinho de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a consoante “s” formando a sílaba -si-
Mansinho é o diminutivo de manso (também escrito com a letra “s”). Significa muito manso; brando; domesticado.
Quando nos casamos ele era mansinho.
É um cão de caça, mansinho.
Usado na locução de mansinho: ao de leve, sem fazer ruido; mansamente.
Entramos de mansinho e ninguém tem de saber.
Vou sair de mansinho antes que eles acordarem.
Mancinho não está correto na Língua Portuguesa.