A forma correta de escrita é outrem de acordo com a Língua Portuguesa.

Ou seja, não é grafado.

Outrem significa outra pessoa; outras pessoas; o próximo.

Ela trabalhada por conta de outrem.
Somos os atores imaginários de uma peça escrita por outrem.

O acento tónico recai na penúltima sílaba ou-, ou seja, é uma palavra paroxítona (grave) que segue a regra geral de não acentuação gráfica das palavras graves.

Outrém não está correto na Língua Portuguesa.


Referências

Advém do latim alteri.