As duas formas – permaneceram e permanecerão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo permanecer, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Permaneceram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ permaneceram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Eles permaneceram fiéis ao Mestre.
Alguns permaneceram 31 dias na montanha.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Permanecerão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ permanecerão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Eles permanecerão até que o chefe retorne.
Em breve haverá uma grande crise de fé e poucos permanecerão na verdade.