A forma correta de escrita é primeiro-ministro de acordo com a Língua Portuguesa quando se refere ao chefe do Governo e para a dúvida em questão.

Ou seja, usamos hífen no sentido apontado mas existem frases onde “primeiro ministro” aparecem em separado.

Primeiro-ministro significa o chefe do Governo; o ministro principal na hierarquia do Governo.

Primeiro-Ministro é o título atual do chefe do Governo da República Portuguesa.
Oposição acusa primeiro-ministro de apenas querer dar as boas notícias, não a realidade.

Relativamente a primeiro ministro são duas palavras que podem surgir desta forma conforme o contexto

Este foi o primeiro ministro a ser condenado à prisão.

Obs: a dúvida, como referido, é referente ao chefe do Governo mas deixamos esta nota como alerta.