A forma correta de escrita é quebra-cabeça de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com hífen.
Quebra-cabeça significa preocupação, problema, enigma difícil ou brinquedo de combinar peças que exige inteligência; muitas vezes dito puzzle.
Ficamos ali sentadas, olhando para o quebra-cabeça.
Ainda falta uma última peça do quebra-cabeça.
Esta questão também se estende à dúvida – Quebra-cabeças ou quebra cabeças?; sendo a resposta similiar, escrevemos com hífen também no plural desta mesma expressão.
Quebra cabeça não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.
Referências
Pós AO 1990 muitas expressões que eram escritas com hífen foram alteradas para sem hífen mas “quebra-cabeça” permanece assim.