A forma correta de escrita é rapidamente de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito sem acento gráfico.
Rapidamente significa de modo rápido; com extrema velocidade; fugaz; sem demoras.
A nossa vontade é que a obra se faça o mais rapidamente possível.
É a região que tem mais condições para rapidamente sair sair da crise.
Como sinónimos de rapidamente podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: depressa, de relance, fugaz, rápido.
Rápidamente não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.
Referências
Advém da construção rápida + mente.