As duas formas – síntese e sintaxe – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Síntese significa exposição geral e resumida; exposição abreviada de acontecimentos; reunião de diversos elementos num todo; criação, geração.
Em síntese, a economia deverá continuar a crescer, mas a um ritmo modesto.
Síntese de fala é o processo de produção artificial de fala humana.
Sintaxe significa a parte da gramática que trata da disposição das palavras no discurso; estudo da estrutura gramatical das frases.
Uma linguagem de programação também tem um estudo semelhante às demais, ou seja, deve-se analisar sua sintaxe e semântica.
Referências
Síntese advém do latim synthesis.
sintaxe advém do latim syntaxis.