As duas formas – sinto e cinto – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Sinto significa é primeira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo sentir, ou seja, perceber por qualquer dos sentidos; ter a impressão de algo.
Sinto que estamos numa boa fase.
Sinto muito mas não posso aceitar.
Estou em paz e sinto-me bem. :: vocábulo sinto-me
Cinto significa faixa de couro, ou de outro material, com que se aperta a cintura; cinta.
Sapatos pretos com cinto preto!
Colocar o cinto de segurança do lugar traseiro é facultativo.
Referências
Cinto advém do latim cinctu.