A forma correta de escrita é sossego de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito sem acento circunflexo e com dois “s” [ -ss- ].
Sossego significa o ato ou efeito de sossegar; tranquilidade, descanso.
Esta questão também se estende ao erro comum de escrever “sussego”; forma igualmente incorreta.
Como sinônimos de sossego podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: apaziguar, aquietar, asserenar, contemporizar, desanuviar, descansar, pacificar, quietar, repoisar, repousar, sedar, serenar, sossegar, tranquilizar.
Sôssego ou socego não existem na Língua Portuguesa; ver referências.
Referências
a) Curiosamente Sôssego existe referente ao município brasileiro do estado da Paraíba.
b) Advém como derivação de sossegar.