A forma correta de escrita é à mesma hora de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a crase à, contração da preposição “a” + artigo “a”.
A construção à mesma hora é usada no sentido de indicar (ou referenciar) exatamente, precisamente o mesmo horário, ou seja, identifica o momento em que algo acontece. A crase à (preposição “a” + artigo “a”) ocorre uma vez que “hora” é um substantivo feminino.
Meus senhores, na próxima quarta, à mesma hora.
Recomendado tomar o comprimido à mesma hora todos os dias.
À mesma hora amanhã, diria eu.
A construção há mesma hora não está correta na Língua Portuguesa.
Notar que construções do tipo “há mesmo” (no sentido de existir) são válidas; “mesmo” tem habitualmente o significado de realmente, de fato.
Infelizmente não há mesmo nada aqui.
Nalguns países há mesmo um retrocesso social.