As duas formas inspiraram e inspirarão existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo inspirar, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Inspiraram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ inspiraram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Ele estava entre os que inspiraram os primeiros movimentos missionários.
Eventos históricos inspiraram muitos romances e filmes.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Inspirarão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ inspirarão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Seus tributos inspirarão outros a agir.
Muitos se inspirarão em você nos próximos anos.