As duas formas – acessório e assessório – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, mas têm significados diferentes.
Acessório significa, em resumo, que é suplementar, subsidiário, complementar. Aquilo que não é fundamental.
Isso é acessório, vamos falar do que importa.
Assessório significa, em resumo, que é algo relativo ao assessor. Assessor significa aquele que auxilia; o adjunto; o assistente.
Serviço assessório necessário à prestação de um bom acompanhamento.
Esta questão também se estende ao erro comum de escrever “acessorio e assessorio”; ambas estas formas estão incorretas pois estes termos levam acento agudo no “o”.
Referências
a) Acessório advém do latim accessus.
b) Assessório advém do latim assessoriu.