As duas formas – acessório e assessório – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, mas têm significados diferentes.

Acessório significa, em resumo, que é suplementar, subsidiário, complementar. Aquilo que não é fundamental.

Isso é acessório, vamos falar do que importa.

Assessório significa, em resumo, que é algo relativo ao assessor. Assessor significa aquele que auxilia; o adjunto; o assistente.

Serviço assessório necessário à prestação de um bom acompanhamento.

Esta questão também se estende ao erro comum de escrever “acessorio e assessorio”; ambas estas formas estão incorretas pois estes termos levam acento agudo no “o”.


Referências

a) Acessório advém do latim accessus.
b) Assessório advém do latim assessoriu.