As duas formas – adoeceram e adoecerão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo adoecer, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Adoeceram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ adoeceram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Eles adoeceram, mas agora estão muito melhores.
O meu trabalho é descobrir como estes soldados adoeceram… e evitar que se propague.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Adoecerão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ adoecerão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
As vítimas de um atentado biológico apenas adoecerão alguns dias após a infeção
Muitos morrerão ou adoecerão gravemente antes de atingirem a reforma.