As duas formas – adoeceram e adoecerão – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo adoecer, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.

Adoeceram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ adoeceram ]

« relativo a uma situação passada ou concluída »

Eles adoeceram, mas agora estão muito melhores.
O meu trabalho é descobrir como estes soldados adoeceram… e evitar que se propague.

Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado

Adoecerão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ adoecerão ]

« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »

As vítimas de um atentado biológico apenas adoecerão alguns dias após a infeção
Muitos morrerão ou adoecerão gravemente antes de atingirem a reforma.