A forma correta de escrita é ambas as partes de acordo com a Língua Portuguesa.

Ou seja, é escrito com o artigo as.

Ambas as partes significa uma e outra partes; que possui relação entre um e outro das partes; as duas lados.

Regra: quando a palavra “ambas” (ou “ambos”) é sucedido de um substantivo o artigo definido é obrigatório. Ambas (ou ambos) funciona como numeral.

O negócio é bom para ambas as partes.
Sugiro um compromisso para ambas as partes.

Da mesma forma escrevemos: ambas as pernas, ambas as filhas, ambas as mãos, ambas as assinaturas, etc.

Ambas partes não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.

Ambas (ou ambos) sem artigo definido?

Quando ambas (ou ambos) funcionam como pronome (não sucedido de um substantivo) não se coloca o artigo; significa as duas (os dois) que foram enumerados anteriormente.

Vão ambas cumprir uma pena pequena.
Fico contente por ambas voltarem inteiras.