As duas formas animá-lo e anima-lo estão corretas, contudo seus significados são diferentes.

Ou seja, ambas as palavras estão corretas e são formas verbais do verbo animar com o pronome oblíquo átono “o” que assume a forma lo depois do verbo quando este termina em “r, s ou z” (ao mesmo tempo que a terminação verbal é suprimida) mas empregues em diferentes tempos verbais.

Animá-lo, com acento agudo na vogal “a”, é referente ao infinitivo do verbo.

o animar = [ animá-lo ]

Soube que ele estava doente e vim animá-lo.
Um bom café da manhã irá animá-lo.
Talvez eu possa animá-lo com um pouco de música.

Obs:
infinitivo – transmite ideia de uma ação ou estado, porém sem vinculá-la a um tempo, modo ou pessoa específica

Anima-lo, sem acento gráfico, é referente à segunda pessoa do singular do indicativo do verbo.

tu [ anima-lo ]

É uma flexão menos usada mas válida.

Tu anima-lo a esforçar-se ainda mais.
Anima-lo nisso, ok?

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