As duas formas – aparte e à parte – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Aparte é um substantivo com o sentido de frase curta e incisiva com que se interrompe um orador; comentário que interrompe um discurso.
Baixou o tom de voz, num aparte.
Concedo o aparte ao professor.
À parte é uma locução que significa em separado; isoladamente; com exceção de; além de.
Preferia falar à parte. :: em separado
A viagem correu bem, à parte de um pequeno atraso no voo. :: com exceção de
Referências
Notar que “aparte” são também formas verbais do verbo apartar mas a dúvida em questão refere-se ao indicado acima.