A forma correta de escrita é apaziguar de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a consoante “z” formando a sílaba -zi-
Apaziguar significa pôr em paz, pacificar; aquietar; sossegar; serenar.
Um bom casamento vai apaziguar a nobreza.
Governos e instituições prometem reformas para apaziguar a ira das mulheres.
Sinónimos de apaziguar: aquietar, sossegar, serenar, tranquilizar, aplacar, apacificar, pacificar, conciliar, harmonizar.
Apaciguar está incorreto; existe na Língua Espanhola com o mesmo significado.
Referências
Advém do latim a + pacificare.