A forma correta de escrita é aproximamo-nos de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, existe omissão da letra “s” final na desinência -mos.
Aproximamo-nos = [nós] aproximamos + nos (clítico), ou seja, estamos perante a terminação da primeira pessoa do plural -mos, seguida do clítico nos.
Dada a homofonia entre as duas terminações ( “mos” e “nos” ), a língua encontrou uma forma de as distinguir, dita a «dissimilação das sílabas parafónicas», isto é, a letra “s” cai na desinência -mos.
Estamos no corredor, aproximamo-nos da porta da segurança.
Comando de Missão, aproximamo-nos da altitude de separação.
Quando queremos iniciar uma interação, aproximamo-nos dos outros para sinalizar a nossa intenção.
Obs: aplica-se somente aos casos em que o pronome enclítico (depois do verbo) é -nos e estamos na primeira pessoa do plural
Outros exemplos:
perguntamo-nos
lavamo-nos
vimo-nos
Aproximamos-nos não está correto na Língua Portuguesa.
Referências
Exemplos pronomes átonos (ligados a formas verbais): me, te, se, lhe, nos, vos, lhes, o, a, os, as.