As duas formas – assumiram e assumirão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo assumir, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Assumiram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ assumiram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Eles assumiram que eu havia fugido.
A partir de 1946 os militares assumiram o comando.
Todas elas assumiram que eu ia envelhecer sozinha.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Assumirão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ assumirão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Eles assumirão o controlo, a menos que consigamos impedi-los.
São os jovens de hoje que assumirão, amanhã, as grandes decisões no mundo!