As duas formas autorizaram e autorizarão existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo autorizar, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Autorizaram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ autorizaram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Infelizmente, eles não autorizaram isso.
Não autorizaram que recolhêssemos assinaturas com o nosso nome.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Autorizarão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ autorizarão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Os pais autorizarão a operação se mostramos que é seguro.
Somente por razões de urgência médica autorizarão uma prioridade nos tratamentos.