As duas formas – avançaram e avançarão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo avançar, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Avançaram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ avançaram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Em menos de oito semanas, eles avançaram 500 milhas.
Eles não avançaram para o próximo estágio.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Avançarão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ avançarão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Após confirmação, vocês avançarão pela instalação.
Os 16 melhores competidores avançarão para uma fase eliminatória única.