A forma correta de escrita é averigue de acordo com a Gramática Portuguesa e foi introduzido pelo Acordo Ortográfico 1990.
Ou seja, é escrito sem acento gráfico.
Averigue é a primeira e terceira pessoa do singular do presente do subjuntivo e a terceira pessoa do singular do imperativo do verbo averiguar.
que eu [ averigue ], que ele; ela; você [ averigue ]; [ averigue ] ele; ela; você
Espero que averigue realmente com atenção estas questões.
Vá e averigue, está bem?
Averigúe não está gramaticalmente correto; era a forma de escrita antes do AO.
Referências
Advém do verbo averiguar.