A forma correta de escrita é caísse de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com dois “ss” e leva acento agudo na vogal “i”.
Caísse é a primeira e terceira pessoa do singular do pretérito imperfeito do modo subjuntivo do verbo cair.
se eu [ caísse ], se ele; ela; você [ caísse ]
Se caísse, alguém poderia tropeçar.
Continuaria atacando até que o regime caísse.
Não queríamos que ela caísse!
Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida, desejo ou situações hipotéticas
Caisse e caice não estão corretos na Língua Portuguesa.
E a conjugação “cai-se”, existe?
Sim!, a forma cai-se, com hífen, é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “se”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica, no caso ele, ela ou você.
Por vezes, cai-se no caminho.
E assim, «a pouco e pouco, cai-se no pecado, na corrupção».