A forma correta de escrita é chique de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito formando a sílaba -que.
Chique é um adjetivo comum aos dois géneros que significa elegante, bem vestido, alinhado.
Não preciso de nada muito chique.
Muito maquiada e chique.
O termo “chique” é o aportuguesamento da palavra francesa “chic” e de modo geral a regra é usar o vocábulo equivalente ou o aportuguesamento da palavra “origem” pelo que a recomendação será usar chique.
No entanto, e apesar de “chic” não ser uma palavra dicionarizada, tal como bastantes outros termos, pode ser usado em certos contextos tal como usamos “surf”, “curriculum” ou “cocktail”.
Referências
Advém do francês chic.