A forma correta de escrita é cônjuge de acordo com a Gramática Portuguesa.
Cônjuge significa cada uma das pessoas, que estão recíprocamente ligadas pelo casamento.
Ou seja, a pessoa casada com outra, em relação a esta ( cônjuge feminino, cônjuge masculino ).
Palavras sinónimas de cônjuge: consorte, esposo.
As palavras marido e mulher podem ser usadas como substitutos.
Cônjugue não existe na Língua Portuguesa.
No entanto a palavra conjugue ( sem acento circunflexo ) é uma formal verbal do verbo conjugar.