As duas formas – continuaram e continuarão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo continuar, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Continuaram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ continuaram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Elas continuaram viagem, eu fiquei preso umas horas.
Depois do concerto, os fãs continuaram a festa. E que festão!
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Continuarão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ continuarão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Eles continuarão a não ter com que se alimentar.
Como é óbvio, continuarão a existir problemas por resolver.
Vários investigadores continuarão a realizar investigação no próximo ano.