A forma recomendada de escrita é depois mas “despois” pode ser aceite como forma popular e antiga.
Depois é um advérbio e significa mais tarde; em uma outra oportunidade (tempo); num lugar posterior (lugar).
Novas imagens de satélite mostram o antes e depois do vulcão Anak Krakatau.
O problema está depois no acompanhamento dos planos de melhoria.
Despois está dicionarizado como “o mesmo que depois” mas indicado como forma popular ou antiga. O mais assertivo é dizer que em certos locais ou regiões ainda é usado desta forma.
Ò despois. :: usado nos Trás-os-Montes
Obs: em termos de uso a forma recomendada é “depois”
Referências
Advém do latim de + post.