A forma recomendada de escrita é depois mas “despois” pode ser aceite com o mesmo significado e como forma popular e antiga.

Depois é um advérbio e significa mais tarde; em uma outra oportunidade (tempo); num lugar posterior (lugar).

Novas imagens de satélite mostram o antes e depois do vulcão Anak Krakatau.
O problema está depois no acompanhamento dos planos de melhoria.

Despois está dicionarizado como “o mesmo que depois” mas indicando a forma popular ou antiga. O mais assertivo é dizer que em certos locais ou regiões ainda é usado desta forma dentro de determinados contextos.

Ò despois. :: usado nos Trás-os-Montes

Obs: em termos de uso a forma recomendada é “depois”


Referências

Advém do latim de + post.