As duas formas – depressa e de pressa – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas mas não é tudo igual; ambas têm o carácter de pressa (rapidez, urgência) mas devemos ter algum cuidado quando as usamos.
Depressa é um advérbio – significa com rapidez; rapidamente; demorando pouco; sem demora; veloz; de forma apressada.
Comer depressa faz aumentar o peso corporal.
O novo champô faz o cabelo crescer mais depressa.
Oceanos estão a aquecer mais depressa do que cientistas pensam.
A palavra “depressa” está generalizada (deve ser usada assim) mas posso sempre substituir por “de pressa” e manter a afirmação como tecnicamente correta. Todavia, o contrário não é habitualmente válido (ver abaixo)!
Obs:
advérbio = modifica o verbo para indicar as circunstâncias da ação
De pressa é uma locução adverbial – palavras permanecem em separado assumindo um determinado sentido; no caso, significa de rapidez, de urgência, de velocidade.
Estou com um pouco de pressa.
Toda a gente estava cheia de pressa, toda a gente se ia embora.
Hoje vivemos em mundo com síndrome de pressa, estão todos atrasados.
Obs:
locução adverbial = duas ou mais palavras com a função de advérbio
Referências
Depressa advém da construção de + pressa.
Pressa advém do latim pressa.