As duas formas – desculpe e desculpa – existem na Gramática Portuguesa, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Desculpe é usado quando tratamos alguém por você.
Desculpa é usado quando tratamos alguém por tu.
São formas do verbo desculpar que significa perdoar a culpa de, justificar ou destruir a culpa de ( ver definição aqui ).