As duas formas distinguir e destingir estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Distinguir significa estabelecer distinção; diferenciar, enxergar; ouvir; marcar.
Podemos distinguir dois períodos na vida desta Santa.
Nem consigo distinguir umas das outras.
Destingir significa fazer sair ou perder a tinta; desbotar.
Este produto, além de destingir, também retira nódoas.
Referências
Distinguir advém do latim distinguere.
Destingir advém da construção des + tingir.