As duas formas – doeram e doerão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo doer, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Doeram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ doeram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Aquelas injeções doeram imenso.
Acho que as notícias doeram um pouco mais do que esperava.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Doerão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ doerão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Tenho de puni-los… e os golpes doerão bastante!
Se te inclinares um pouco para a frente, não te doerão as costas.